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数学归纳法经典例题详解

时间:2021-09-09 01:16 来源:网络整理 转载
例1.用数学归纳法证明: 1111n. ??????2n?12n?12n?11?33?55?7 请读者分析下面的证法: 证明:①n=1时,左边?1111?,右边??,左边=右边,等式成立. 1?332?13 ②假设n=k时,等式成立,即: 1111k??????. 2k?12k?12k?11?33?55?7 那么当n=k+1时,有: 1111

例1.用数学归纳法证明:

1111n. ??????2n?12n?12n?11?33?55?7

请读者分析下面的证法:

证明:①n=1时,左边?1111?,右边??,左边=右边,等式成立. 1?332?13

②假设n=k时,等式成立,即:

1111k??????. 2k?12k?12k?11?33?55?7

那么当n=k+1时,有:

11111?????? 2k?12k?12k?12k?31?33?55?7

1??1??11??11?1??11???11?????????????????????? 2?335572k?12k?12k?12k?3????????????

1?1?12k?2 1?????2?2k?3?22k?3

k?1k?1?         2k?32k?1?1??

这就是说,当n=k+1时,等式亦成立.

由①、②可知,对一切自然数n等式成立.

评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n=k这一步,当n=k+1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求.

正确方法是:当n=k+1时.

11111?????? 2k?12k?12k?12k?31?33?55?7

k1? 2k?12k?12k?3?2k?1??k?1? 2k2?3k?1??2k?12k?32k?12k?3


k?1k?1 ?2k?32k?1?1

这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,

例2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数n,等式:

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立,并证明你的结论.

分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来{an},然后再证明一般性.    解:将n=1,2,3分别代入等式得方程组.

a1?6?, ?a1?2a2?24

a?2a?3a?6023?1

解得a1=6,a2=9,a3=12,则d=3.

故存在一个等差数列an=3n+3,当n=1,2,3时,已知等式成立.

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3,对大于3的自然数,等式

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.

因为起始值已证,可证第二步骤.

假设n=k时,等式成立,即

a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)

那么当n=k+1时,

a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]

=(k+1)(k2+2k+3k+6)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

这就是说,当n=k+1时,也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列an=3n+3,对任何自然数n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.

例3.证明不等式1?1

2?1

3???1

n?2n (n∈N).

证明:①当n=1时,左边=1,右边=2.

左边<右边,不等式成立.

②假设n=k时,不等式成立,即1?1

2?1

3???1

k?2k.

那么当n=k+1时,

1?1

2?1

3???1

k?1

k?1

2k?1

k?1?2kk?1?1

k?1

2?k?1?

k?1 ?k??k?1??1

k?1??2k?1

这就是说,当n=k+1时,不等式成立.

由①、②可知,原不等式对任意自然数n都成立.

说明:这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是

1?1

2?1

3

1???1k?1k?1?2k?1,当代入归纳假设后,就是要证明: 2k?k?1?2?1.

认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.

例4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当n∈N时,an+2=an+1+an.

求证:数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除.

分析:本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法.

①当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被3整除.

②当m=k时,a4k+1能被3整除,那么当n=k+1时,

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3

=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除,又3a4k+2能被3整除,故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

因此,当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.

由①、②可知,对一切自然数m∈N,数列{an}中的第4m+1项都能被3整除.

例5.n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?

分析:设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧,采用由特殊到一般的方法,进行猜想和论证.


当n=2时,由图(1).两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f (2)=4=22.

当n=3时,由图(2).三个半径交于三点,则分成9段圆弧,故f (3)=9=32.

由n=4时,由图(3).三个半圆交于6点,则分成16段圆弧,故f (4)=16=42.

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2.

用数学归纳法证明如下:

①当n=2时,上面已证.

②设n=k时,f (k)=k2,那么当n=k+1时,第k+1个半圆与原k个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆不能交于一点,所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段,这样又多出了k+1段圆弧.

∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)

=k2+2k+1=(k+1)2

∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧.

由①、②可知,满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.

说明:这里要注意;增加一个半圆时,圆弧段增加了多少条,可以从f (2)=4,f (3)=f (2)+2+3,f (4)=f

(3)+3+4中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1).

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